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前几天突发奇想，虚幻4里有没有办法模拟出乒乓球在真实世界的运动规律呢（比如下旋的回弹，上旋加速等）？
据我自己非常不深入的了解，引擎在碰撞时应当是没有考虑角速度的影响的，那能否自己实现一个呢？
话不多说，直接开始正题。
高速旋转球体角速度对运动的影响
先来进行一些简单情景的受力分析。
- 考虑从左向右运动的球体，在运动时从观察者方向看是顺时针旋转的（乒乓球等球类运动里，对应的是上旋）。此时，如果球与地面接触，那么角速度对球底部接触点会产生一个向左的线速度，质心向右运动，有向右的速度。接触地面点合速度的方向取决于角速度和线速度哪个更大，因此滑动摩擦方向可能向左也可能向右。打得好的上旋球角速度的影响更大，此时摩擦力是向前的，这导致碰撞后质心水平速度会更大，看起来运动得更快。
- 仍然考虑从左向右运动的物体，但此时逆时针旋转（对应球类运动的下旋）。此时角速度对球底部产生一个向右的线速度，质心速度也向右。此时合速度必然向右，于是滑动摩擦向左。于是下旋球在质心速度较低的时候，可能会因为摩擦力的冲量向左回弹。
于是我们可以想到：
- 球与桌面接触时的受力可以分解为两部分，第一部分是球与桌面撞击产生弹性形变的支持力，第二部分是接触点速度反向的摩擦力。
- 球是均匀的，支持力过质心，不会影响角速度，且不会影响水平方向速度。
- 摩擦力作用点不在质心，产生力矩，影响角速度和水平方向速度，但不会影响竖直方向速度。
- 如果碰撞过程完全没有能量损失，支持力的冲量正好使得球竖直方向的速度大小不变，方向相反。
对碰撞模型的一些假设
因为是模拟物理动画，当然不可能做到100%还原如此复杂的情景的，所以我对碰撞过程做了一些假设，简化模型的同时让模拟结果看起来合理：
- 没有空气阻力，即不考虑马格努斯效应等对运动的影响（之后可能会加上）；
- 在与地面、墙面碰撞过程中，仅正碰方向有10%的速度损耗；
- 竖直方向速度，低于某个值的时候直接置0（因为模拟时一步的时间步长是有限值，弹跳时间间隔低于一步的话，一直模拟会出现难以停止的情况）；
- 碰撞过程不考虑滑动摩擦以外的摩擦力。
理论论证
（非常感谢在sysu学物理的W同学为我检查证明过程，以及X同学提供的论文！）
因为接触桌面时间很短，忽略重力的影响，在0至T时间段支持力对球的冲量大小为
I_N = \int_0^T N(t)\,{\rm d} t,
设摩擦因数为mu，摩擦力的冲量大小为（这里有个漏洞，将在后面说明）
I_f = \int _0^T \mu N(t)\,{\rm d}t = \mu I_N.
假设碰撞前后竖直方向上质心速度大小为vz，即竖直方向速度变化量为2vz，球质量为m，正碰后速度比为xi(=0.9)，则质心水平方向速度的变化量的大小为
I_N = m \Delta v_z = (1+\xi)mv_z,
\Delta v = \frac{I_f}{m}=\frac{2\mu m v_z}{m}=(1+\xi) \mu v_z.
设球半径为r，转动惯量J，则角速度的变化量大小为
\Delta \omega = \int_0^T \frac{fr}{J}\,{\rm d}t=\frac{I_f r}J = \frac{(1+\xi)\mu m v_z r}J.
方向是摩擦力f与接触面法线方向叉乘。
同理，在与其他表面碰撞时模型是完全相同的（忽略重力），只需要将vz改为对应墙面/接触面法线方向的速度即可。
实现
实际计算的时候，每tick更新一次速度、角速度和位置。每tick（时长t0）判断碰撞时，计算出发生碰撞的点以及发生碰撞的时间t1，只记录下最早碰撞的位置即可。如果没有碰撞，用速度更新位置后用重力加速度更新速度；如果发生了碰撞，那么将球移动到碰撞点，更新碰撞结果后再按当前速度无碰撞仅受重力加速度影响运动t1-t0时间。如果碰到地面且竖直方向速度vz过小，将vz置0并让球进入滚动状态。滚动部分分为滑动摩擦滚动和纯滚动，纯滚动时摩擦因数需要设置较小的值。
上述论证的漏洞与修复
实际实现后，会发现一个现象：某些参数下的下旋球，会往回弹一次，然后又向前弹。这与观察到的现象是明显不符的（感谢zju的L同学的实验视频与论证！一些弹性较好的材质确实是可以很容易出现这样的反复回弹的，我看到弹力球两次反复回弹的时候确实惊呆了。乒乓球似乎也可以，有可能是空气流动或其他作用力导致的。我主要讨论的是近似刚体的运动，所以暂时不考虑如此复杂的情形）。
对角速度进行了一些调试分析，我发现了问题的所在：在第二次回弹的时候，角速度和水平速度的方向均反向了。这时我参考了X同学发给我的论文，我注意到了一个非常严重的漏洞：摩擦力是纯耗散的，在接触点合速度归0后，滑动摩擦并不存在。也就是说，滑动摩擦力不是在0至T时刻持续存在的，上面的积分并不成立，即
I_f \le \mu I_N.
于是，需要对上述模型做一些修正。考虑摩擦力f导致的接触点线速度改变量，实际上等于
\Delta v+r\Delta \omega = \frac 1m I_f +\frac{r^2}J I_f = \left(\frac 1m + \frac{r^2}J\right)I_f.
以球与地面碰撞为例，我们有限制
\Delta v+r\Delta \omega \le |{\bf v}_{xy}+r{\bf n\times \omega} |,
式子的右边是碰撞发生前瞬间的合速度，vxy是水平方向质心速度，n为法线。这意味着
I_f = \min\left(\mu I_N, \frac{mJ}{J+mr^2}|{\bf v}_{xy}+r{\bf n\times \omega} |\right).
修正后的速度、角速度更新公式：
\Delta v =\min\left((1+\xi)\mu v_z, \frac J{J+mr^2}|{\bf v}_{xy}+r{\bf n\times \omega} |\right),
\Delta \omega =mr \min\left((1+\xi)\frac{\mu}J v_z, \frac{1}{J+mr^2}|{\bf v}_{xy}+r{\bf n\times \omega} |\right).
结果展示
之后在虚幻引擎里写一些蓝图事件，用一个箭头表示出角速度的大小和方向，这一个toy project就算完成了。做出的下旋球模拟示例如下。
该toy可以展示任意初始角速度和初始质心速度，匀质球体在无空气影响下的运动和碰撞。
（非物理专业，只是一个一天时间内与朋友讨论完成的玩具虚幻项目，如果有一些论证错误和漏洞，请您务必留言告诉我，谢谢！）
